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Hier sollen die Begriffe "natürlich Zahlen", "ganze Zahlen", "rationale Zahlen" u.ä. ge- und erklärt werden.

Natürliche ZahlenBearbeiten

Die Menge der natürlichen Zahlen umfasst alle positiven, ganzen Zahlen. Dabei ist nicht klar definiert bzw. gibt es unteschiedliche Definitionen, sodass manchmal die Null enhalten ist, manchmal aber auch nicht.

"Definition"Bearbeiten

Man könnte, um die natürlichen Zahlen zu definieren, sagen, dass die Null (oder eben die Eins) das kleinste Element der natürlichen Zahlen ist und auch ihr Nachfolger, der genau um 1 größer ist, Element der natürlichen Zahlen ist. Daraus ergibt sich, dass die natürlichen Zahlen unendlich groß sind, denn jedes Element hat einen Nachfolger, welches wieder einen Nachfolger hat usw.

Ausführbarkeit von RechenoperationenBearbeiten

In der Menge der natürlichen Zahlen kann immer addiert und multipliziert werden und das Ergebnis ist wieder Element der natürlichen Zahlen, subtraktion und division sind nur bedingt ausführbar. 

Beispiel (mit 3; 4 Element der natürlichen Zahlen):

3+4 nach der oberen Definition ist 7 Element der natürlichen Zahlen;
3-4 -1<0, bzw. -1<1 nach Definition nicht Element der natürlichen Zahlen;
3*4 nach der oberen Definition ist 12 Element der natürlichen Zahlen;
3:4 1,3333... nach Definition nicht Element der natürlichen Zahlen.

MonotoniegesetzeBearbeiten

Aus a<b folgt a+c<b+c.

Aus a<b folgt a*c<b*c (falls c ungleich 0).

Darstellung auf einer ZahlengeradenBearbeiten

Den natürlichen Zahlen entsprechen einzelne Punkte im Abstand von 1 auf dem Zahlenstrahl (ab 0 bzw. 1). Jede Zahl hat (außer 0 bzw. 1) einen Vorgänger und einen Nachfolger.

Ganze ZahlenBearbeiten

Die ganzen Zahlen ist die Zahlenmenge, die wir spätestens dann kennenlernen, wenn wir bei jemandem Schulden haben o.ä., denn im Gegensatz zu dennatürlichen Zahlen enthalten die ganzen Zahlen auch negative Zahlen. Dieses Beispiel funktioniert aber nur, wenn man hierbei ggf. nicht Euro sondern Cent als die entsprechende Einheit ansieht, sonst wären z.B. 2,5 € hier nicht inbegriffen.

Um die natürlichen Zahlen zu definieren, braucht man lediglich der Definition der natürlichen Zahlen hinzuzufügen, dass jede Zahl auch einen Vorgänger hat:

DefinitionBearbeiten

Jedes Element der ganzen Zahlen hat einen Vorgänger und einen Nachfolger derart, dass er um genau eins größer ist, als das Ursprungselement.

Ausführbarkeit von RechenoperationenBearbeiten

In der Menge der ganzen Zahlen kann immer addiert, subtrahiert und multipliziert werden und das Ergebnis ist wieder Element der ganzen Zahlen, division ist nur bedingt ausführbar. 

Beispiel (mit 3; -4 Element der ganzen Zahlen):

3+(-4) nach Definition ist -1 Element der ganzen Zahlen;
3-(-4) nach Definition ist 7 Element der ganzen Zahlen;
3*(-4) nach Definition ist -12 Element der ganzen Zahlen;
3:(-4) nach Definition -1,3333... nicht Element der ganzen Zahlen.

MonotoniegesetzeBearbeiten

Aus a<b folgt a+c<b+c.

Aus a<b folgt a*c<b*c, fallsc>0.

Aus a<b folgt a*c>b*c, falls c<0.

Darstellung auf einer ZahlengeradenBearbeiten

Den ganzen Zahlen entsprechen einzelne Punkte im Abstand von 1 auf der Zahlengeraden. Jede Zahl (auch 0 bzw. 1) hat einen Vorgänger und einen Nachfolger. Die zu a entgegengesetzte Zahl ist -a (durch Punktspielgelung von a an 0).

BruchzahlenBearbeiten

Brüche erweitern die bisherigen Mengen um die Division, auch wenn sie hier noch auf die natürlichen, also positiven Zahlen eingeschränkt ist. Das ändert sich erst bei den rationalen Zahlen.

DefinitionBearbeiten

Die gebrochenen Zahlen werden durch zwei Zahlen aus den natürlichen Zahlen gebildet, wobei die eine durch die andere dividiert wird und so ein Bruch entsteht. Dabei muss beachtet werden, dass der Nenner ungleich Null sein muss (durch Null teilen ist nicht definiert). Falls die natürlichen Zahlen größer als Null betrachtet werden, muss hierauf nichtgesondert geachtet werden.

Ausführbarkeit von RechenoperationenBearbeiten

In der Menge der gebrochenen Zahlen kann immer addiert, multipliziert und dividiert (außer durch 0) werden und das Ergebnis ist wieder Element der gebrochenen Zahlen, Subtraktion ist nur bedingt ausführbar. Gebrochene Zahlen können auch als (endliche bzw. periodische) Dezimalbrüche beschrieben werden.

Beispiel (mit 1; 5:2=2,5 Element der natürlichen Zahlen):

1+2,5 nach Definition ist 3,5=10,5:3 Element der gebrochenen Zahlen;
1-2,5 nach Definition ist -1,5<0 nicht Element der gebrochenen Zahlen;
1*2,5 nach Definition ist 2,5 Element der gebrochenen Zahlen;
1:2,5 nach Definition 0,4=2:5 Element der gebrochenen Zahlen.

MonotoniegesetzeBearbeiten

Wie in den natürlichen Zahlen.

Darstellung auf einer ZahlengeradenBearbeiten

Die gebrochenen Zahlen besetzten den Zahlenstrahl ab 0 ins Positive seht eng, es gibt aber unbesetzte Punkte, deren Wert nicht in den gebrochenen Zahlen liegt (Lücken auf der Zahlengeraden).

Rationale ZahlenBearbeiten

Die Beziehung zwischen den gebrochenen Zahlen und den rationalen Zahlen lässt sich mit dem zwischen ganzen und natürlichen Zahlen vergleichen. So werden hier auch Bruchzahlen aus negativen Zahlen also aus den ganzen Zahlen stammenden gebildet.

DefinitionBearbeiten

Die rationalen Zahlen werden durch zwei Zahlen aus den ganzen Zahlen gebildet, wobei die eine durch die andere dividiert wird und so ein Bruch entsteht. Dabei muss beachtet werden, dass der Nenner ungleich Null sein muss (durch Null teilen ist nicht definiert).

Ausführbarkeit von RechenoperationenBearbeiten

In der Menge der rationalen Zahlen kann immer addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert (außer durch 0) werden und das Ergebnis ist wieder Element der rationalen Zahlen, Wurzelziehen nur bedingt.

Beispiel (mit 1; -5:2=-2,5 Element der ganzen Zahlen):

1+(-2,5) nach Definition ist -1,5=6:(-4) Element der rationalen Zahlen;
1-(-2,5) nach Definition ist 3,5=10,5:3 Element der rationalen Zahlen;
1*(-2,5) nach Definition ist -2,5 Element der rationalen Zahlen;
1:(-2,5) nach Definition -0,4=2:(-5) Element der rationalen Zahlen;
\sqrt{2} nach Definition \sqrt{2} nicht Element der rationalen Zahlen, da nicht als Bruch darstellbar.

MonotoniegesetzeBearbeiten

Wie in den ganzen Zahlen.

Darstellung auf einer ZahlengeradenBearbeiten

Die rationalen Zahlen liegen dicht auf der Zahlengeraden, es gibt aber unbesetzte Punkte, deren Wert nicht in den rationalen Zahlen liegt (Lücken auf der Zahlengeraden).

Reelle ZahlenBearbeiten

In den reellen Zahlen sind eigentlich alle Rechenoperationen ausführbar, zumindest diejenigen, die wir normalerweise benutzten. Als erweiterung gibt es nurnoch die komplexen Zahlen, in denen im Gegensatzt zu den reellen Zahlen auch Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden dürfen.

"Definition"Bearbeiten

Alle Zahlen sind in den reellen Zahlen enthalte, bis auf die Wurzeln aus negativen Zahlen.

Ausführbarkeit von RechenoperationenBearbeiten

In der Menge der reellen Zahlen kann immer addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert (außer durch 0) werden und das Ergebnis ist wieder Element der reellen Zahlen, Wurzelziehen nur aus postitiven reellen Zahlen möglich.

Beispiel:

\sqrt{9}+(-2) nach Definition ist 1 Element der reellen Zahlen;
\sqrt{9}-(-2) nach Definition ist 5 Element der reellen Zahlen;
1,33...*(-2) nach Definition ist -2,66... Element der reellen Zahlen;
1,33...:(-2) nach Definition -0,66... Element der reellen Zahlen;
\sqrt{2} nach Definition \sqrt{2} Element der reellen Zahlen;
\sqrt{-2} nach Definition \sqrt{-2} nicht Element der reellen Zahlen.

MonotoniegesetzeBearbeiten

Wie in den ganzen Zahlen.

Darstellung auf einer ZahlengeradenBearbeiten

Jedem Punkt auf dem Zahlenstrahl ist genau eine reelle Zahl zugeordnet.

Komplexe ZahlenBearbeiten

Folgt zukünftig.


Quelle(n)Bearbeiten

Das große Tafelwerk interaktiv

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