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Quatratische Funktionen haben die allgemeine Funktionsgleichung y = f(x) = ax²+bx+c. Außerdem ist diese eine Funktion 2. Ordnung.

Quadratische Funktionen der Gleichung y = f(x) = a*x² (Einfluss des Parameters a auf den Verlauf des Graphen)Bearbeiten

Wenn die Funktionsgleichung y = x² lautet, dann ist der dazugehörige Graph die sogenannte Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt liegt bei (0|0). Markante Punkte sind demzufolge (0|0), aber auch (1|1) und (-1|1). Der Parameter a ist bei der Normalparabel 1. Ändert man diesen Parameter, so hat das Einfluss auf die Monotonie der Parabel:

  • wenn a > 0 ist, dann ist die Parabel nach oben geöffnet.
  • wenn a < 0 ist, dann ist die Parabel nach unten geöffnet.
  • wenn |a| (Betrag von a) > 1 ist, dann wird die Parabel an der y-Achse (Ordinate) gestreckt (verläuft schmaler als die Normalparabel)
  • wenn |a| < 1 ist, dann wird die Parabel an der y-Achse gestaucht (verläuft breiter als Normalparabel)

Quadratische Funktionen der Gleichung y = f(x) = (x+d)² (Einfluss des Parameters d auf den Verlauf des Graphen)Bearbeiten

Der Parameter d verschiebt die Parabel auf der x-Achse (Abszissenachse). Dabei wird diese nicht gestaucht oder gestreckt. Die Normalparabel wird nur verschoben. Man muss aber darauf auchten, wohin man den Graphen verschiebt. Ist d positiv, so wird die Parabel nach links, also zum negativen Bereich, verschoben. Ist d negativ, so wird der Graph nach rechts, also zum positivem Bereich, verschoben. Man betrachtet sozusagen den Punkt (-d|0)

Der Parameter beeinflusst die Symmetrieachse der Normalparabel (d.h. Scheitelpunkt) und somit ändert d auch die Schnittpunkte mit der x und y-Achse, die Nullstellenlage, aber auch die Monotonie.

Quadratische Funktionen der Gleichung y = f(x) = x²+e (Einfluss des Parameters e auf den Verlauf des Graphen)Bearbeiten

Der Parameter e bestimmt, wie man die Normalparabel auf der y-Achse verschieben muss. Ist e zum Beispiel 3, so wird der Scheitelpunkt 3 Einheiten auf der y-Achse nach oben verschoben.

Der Parameter hat einen Einfluss auf die Lage und die Anzahl der Nullstellen. Demzufolge auch einen Einfluss auf die Schnittpunkte mit der x und y-Achse, aber auch auf den Wertebereich der Funktion.

Quadratische Funktionen der Gleichung Y = f(x) = (x+d)²+e (Scheitelpunktform)Bearbeiten

Wenn man die Parameter d und e in eine Gleichung nimmt, so erhält man die sogenannte Scheitelpunktform. Mit d und e kann man ganz schnell den Scheitelpunkt der Parabel ermitteln.

Zum Beispiel: Man nimmt die Funktionsgleichung Y = (x+2)²-5. Der Scheitelpunkt liegt dann bei (-2|-5). Da man beim zeichnen des Graphen imer von -d ausgehen muss, wurde die 2 negativ. Der Parameter e bleibt erhalten.

Die Scheitelpunktform veranlasst also, dass die Normalparabel um -d Einheiten entlang der x-Ache und um e Einheiten entlang der y-Achse verschoben wird. Dies hat zur Folge, dass die Symmetrieachse verschoben wird, die Schnittpunkte mit der x und y-Achse geändert werden, aber auch die Monotonie, der Wertebereich und die Nullstellen verändert werden.

Gleichungen quadratischer Funktionen mit |a| = 1Bearbeiten

Man kann die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in 2 verschiedenen Formen ausdrücken. Einmal in der bereits bekannten Scheitelpunktform, aber auch in der Normalform.

Scheitelpunktform:

Gleichung: y = (x+d)²+e

Man erkennt in der Scheitelpunktform eine binomische Formel. Nun löst man dieses Binom auf, dann erhält man die Gleichung: y = x²+2dx+d²+e [--> S(-d|e)]

Diese Form ähnelt sehr der Gleichung y= ax²+bx+c, wobei |a| diesmal 1 ist udn weggelassen werden kann.


Normalform:

Gleichung: y = x²+px+q

Man bemerkt, dass diese Gleichung und y= ax²+bx+c identisch sind (auch hier kann man a weglassen), nur wurden b und c durch p und q ausgetauscht.

Betrachtet man noch einmal die Gleichung y = x²+2dx+d²+e, erkennt man, dass 2d p ist und d²+e = q. Dieses Wissen braucht man, um den Scheitelpunkt der Normalform anzugeben, der lautet: S(-p/2|-p²/4+q). Der letzte Teil des Scheitelpunktes kann man auch, mit ausgeklammertem Minus, so schreiben: -(p²/4-q). Dieser Term wird als Diskriminante' D' (--> die Entscheidente) bezeichnet. Diese Diskriminante benötigt man, um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen.

Eigenschaften der Beispielfunktion y = (x+2)²-5Bearbeiten

Wenn man das Binom auflöst, erhält man diese Gleichung: y = x²+4x+4-5. Um die Normalform zu bekommen, muss man mit 4 subtrahieren, d.h.: y = x²+4x-4-5. Raus kommt also die Gleichung y = x²+4x-9.

Mit diesen 2 Gleichungen kann man ganz schnell die Eigenschaften dieser Funktion bestimmen.

  • Definitionsbereich: Der Definitionsberech dieser Funktion lautet ausformuliert: x mit der Eigenschaft x Element reelle Zahlen.
  • Wertebereich: Der Wertebereich dieser Funktion lautet ausformuliert: y mit der Eigenschaft y Element reelle Zahlen und y größer gleich -5.
  • Scheitelpunkt: Der Scheitelpunkt liegt bei (-2|-5).
  • Monotonie: Wenn x kleiner gleich -2 ist, dann ist der Graph monoton fallend. Wenn x größer gleich -2 ist, dann ist der Graph monoton steigend.
  • Symmetrieachse: Es ist eine Symmetrie vorhanden. Die Symmetrieachse ist bei x = -2.
  • Nullstellen: Die Funktion besitzt genau 2 Nullstellen.