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Die Quadratwurzel, kurz auch Wurzel, einer nicht negativen Zahl y sind zwei ganze Zahlen, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl y ist. Diese beiden Zahlen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen, da sie beide das gleiche Quadrat bilden.

Bsp:     \sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}=5

\sqrt{25}=\sqrt{(-5)^{2}}=-5

Allerdings darf der Radikand (Zahl unter dem Wurzelzeichen, hier n) von\sqrt{n} nur negativ sein, wenn die komplexen Zahlen auch betrachtet werden. Das Ergebnis mit ist einem negativen Radianden nämlich nicht Element der reellen Zahlen (nur Element der komplexe Zahlen) und somit nicht definiert ist, d.h. es gibt innerhalb der reellen Zehlen keine Lösung.

Lösungsmenge Bearbeiten

Eine Quadratwurzel angewendet auf eine beliebige Zahl liefert also eine leere bis zwei-elementige Lösungsmenge, wenn nur die reellen Zahlen betrachtet werden, sonst ergibt sich immer eine Lösung (s. komplexe Zahlen):


n= 49:

\sqrt{49}=\sqrt{7^{2}}=7

\sqrt{49}=\sqrt{(-7)^{2}}=-7

Lösungsmenge=\{7; -7\} also zwei-elementig
n= 0: \sqrt{0}=\sqrt{0^{2}}=0 Lösungsmenge=\{0\} also ein-elementig
n= -25:

\sqrt{-25}=\sqrt{5^{2}*(-1)}=5*\sqrt{-1}=5i

\sqrt{-25}=\sqrt{-5^{2}*(-1)}=-5\sqrt{-1}=-5i

Lösungsmenge=\{5i; -5i\} also zwei-elemntig, falls komplexe Zahlen einbezogen oder


Lösungsmenge=\{\} also leer, falls komplexe Zahlen nicht einbezogen

Einige Wurzeln Bearbeiten

Quadratzahlen und deren Quadratwurzeln (hier nur reelle Zahlen)
Radikand Radix Quadratwurzel Radikand Radix Quadratwurzel
1 1, -1 121 11, -11
4 2, -2 144 12, -12
9 3, -3 169 13, -13
16 4, - 4 196 14, -14
25 5, - 5 225 15, -15
36 6, -6 256 16, -16
49 7, -7 289 17, -17
64 8, -8 324 18, -18
81 9, -9 361 19, -19
100 10, -10 400 20, -20


Heron-Verfahren zum Bestimmen von Wurzeln Bearbeiten

Nicht jede Zahl hat ganze Zahlen als Wurzel, manche nichteinmal rationaleoder sogar nicht reelle Zahlen, wie hier noch gezeigt wird. Beispielsweise ist die Zahl 30 als Radikand zu nennen. Klar:\sqrt{30} ist nicht so einfach zu bestimmen. Allerdings gibt es eine Methode, um auch die Wurzel aus nicht-trivialen Radikanden wie diesem zu bestimmen: Zuerst bestimmt man, welche zwei aufeinanderfolgenden ganze Zahlen zwischen der Wurzel aus 30 liegen. Zur Vereinfachung verwendet man meist nur die Menge der natürlichen Zahlen, doch analog kann auch das Negative aus den ganzen Zahlen genutzt. werden. Das sind bei unserem Beispiel mit \sqrt{30}die natürlichen Zahlen 5 und 6, da 5^{2}=25 und 6^{2}=36 sind und
5<\sqrt{30}<6.

Die Wurzel aus 30 liegt demnach zwischen 5 und 6. Als nächstes wird bestimmt, welche der beiden Zahlen näher an 30 liegt. Die Differenz zwischen 5^{2}=25 und 30 beträgt 5, zwischen 30 und 6^{2}=36 beträgt sie 6. Das Quadrat von 5 liegt näher an unserem Radianten 30, also liegt auch die Zahl 5 näher an der Wurzel aus 30.

5 \cdot \frac{30}{5}=30

Nun soll der Durchschnitt der Zahlen bestimmt werden. Dazu wird folgendes berechnet: \frac{1}{2} \cdot (5+\frac{30}{5})=\frac{1}{2} \cdot (\frac{25}{5}+\frac{30}{5})=\frac{1}{2} \cdot \frac{55}{5} = \frac{55}{10} = 5,5

Das Ergebnis lautet also 5,5. Allerdings ist 5,5^{2}=30,25. Ein exaktes Ergebnis für die Wurzel aus 30 lässt sich durch weiterführen der Rechnungen, nun mit dem neuen Wert 5,5, bestimmen. Dabei werden immer die nächst genaueren Werte (eine Stelle nach dem Komma mehr) benutzt. Bei \sqrt{30} wird man jedoch feststellen, dass man ewig weiterrechnen könnte, da das Ergebnis irrational ist (eine nicht periodische, unendliche Zahl). Jenachdem, wie genau der Wert bestimmt werden muss, kann 5,5 als ein ziemlich annäherender Wert ausreichen. Sonst kann versucht werden, die Wurzel nicht zu lösen und so weiterzurechnen, um sie später vielleicht lösen zu können, wenn etwas hinzuaddiert wurde o.ä. Übrigens: ein Taschenrechner errechnet bei \sqrt{30} das Ergebnis \sqrt{30}=5,477225575....

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